Problème sur la mortalité aux très grands âges

On s'intéresse à la mortalité aux très grands âges et à la forme de la force de mortalité au delà de 90 ans. On prend le cas d'une femme qui aurait atteint 120 ans, mais pour laquelle la possibilité pour sa fille de prendre l'identité de la mère est envisagée. La fille est supposée avoir exactement 20 ans de moins que sa mère et serait décédée à l'âge de 40 ans. On raisonne pour simplifier sur une table de mortalité transversale récente, assez éloignée de la table de mortalité de la génération née en 1874.

1. Les taux de mortalité d'une table transversale récente et portés sur un papier semi-logarithmique sont parfaitement alignés depuis l'âge de 40 ans jusqu'à l'âge de 90 ans. Au delà de 90 ans les taux de mortalité sont difficiles à estimer principalement en raison des faibles effectifs mais aussi parce que leurs niveaux, de l'ordre de 0,2 par an, sont trop importants en comparaison de l'intervalle de temps utilisé. Ainsi, les valeurs des taux diffèrent selon la méthode utilisée et différent en particulier de la valeur de la force qui devient inestimable. Mais en deçà de 90 ans, lorsque le niveau est faible, les taux et forces de mortalité sont identiques, ce qui a d'ailleurs contribué à la confusion entre les deux notions.

   L'estimation de la force de mortalité aux grands âges et la remise en cause de la loi de Gompertz sont des questions ouvertes auprès des chercheurs.

   Le taux vaut 2,28 pour mille par an et celui à 80 ans vaut 75,39 pour mille et par an. Donner l'expression numérique de la force de mortalité de la loi de Gompertz pour tous les âges supérieurs à 40 ans :

   

   La réponse est immédiate :

   

   et

   

2. Quel est le niveau de la force de mortalité à 120 ans si on admet la loi de Gompertz ?

   

3. Soit sg(x) la probabilité de survivre de l'âge de 40 ans jusqu'à l'âge x dans le cas de cette loi de Gompertz. Donner l'expression de sg(x) en fonction de a et b dans le cas d'une Gompertz, ainsi qu'en fonction de et de .

   

4. Vérifier que dans le cas d'une Gompertz, sg(90)/sg(40) vaut 13 %.

   

   

5. Calculer la probabilité pour une personne de 90 ans d'atteindre 100, 110 et 120 ans si la loi de mortalité est la Gompertz.

   

   

   

   d'où :

   

   Si 6 milliards d'individus survivaient jusqu'à 90 ans, combien atteindraient-ils 120 ans? Qu'en déduisez vous sur la possibilité pour un pays comme la France d'avoir une personne âgée de 120 ans?

   Si 6 milliards d'individus survivaient jusqu'à 90 ans, =0,0198 individus, soit même pas un individu ne survivrait jusqu'à 120 ans. L'écart type de cette loi binomiale, = 0,27, serait également très faible, il n'y aurait donc aucun survivant.

6. A l'opposé, on suppose maintenant que la force de mortalité au delà de 90 ans est constante (absence de vieillissement) et égale à celle obtenue à 90 ans. Donner l'équation de la probabilité de survivre de 90 ans à un âge x.

   Dans le cas où la force de mortalité est indépendante de l'âge, la fonction de survie est une exponentielle décroissante :

   

   Répondez aux diverses sous-questions de la question précédente dans le cas d'une force de mortalité constante au delà de 90 ans.

   

   Sur 6 milliards, il y aurait ainsi millions de survivants à 120 ans !

7. Dans l'hypothèse où la loi de Gompertz est valable, calculez la probabilité pour une femme âgée de 60 ans au décès de sa fille, elle même âgée de 40 ans, d'atteindre 120 ans

   

     
   Figure: Hypothèses sur les forces de mortalité au delà de 90 ans : constante ou Gompertz.
   

8. Si la fille prend l'identité de sa mère à l'âge de 40 ans, quelle est la probabilité pour la fille d'atteindre 120-20=100 en 1995 (toujours dans le cas d'une gompertz).

   La probabilité se calcule aisément :

   

   Il y a-t-il une grande différence entre ses deux probabilités de survivre durant 60 ans ? Si on admet la loi de Gompertz, ces résultats sont-ils pour vous la preuve statistique d'une usurpation d'identité ?

   Il y a donc 7 chances sur mille pour une fille de 40 ans d'atteindre 100 ans et aucune chance pour la mère de 60 ans d'atteindre 120 ans. Si la loi de Gompertz est vérifiée, il y a usurpation d'identité.

9. Effectuer les mêmes calculs dans le cas où la force de mortalité stagnerait au delà de 90 ans. Quelle conclusion en tirez-vous ?

   

   et

   

   Les figures 1 et 2

     
   Figure 2: Fonctions de survie au delà de 90 ans selon l'hypothèse d'une constance de la mortalité au delà de 90 ans ou d'une prolongation de la droite de Gompertz.
   

   retracent les hypothèses sur la force de mortalité et ses conséquences sur les fonctions de survie.

   Dans le cas d'une force de mortalité constante au delà de 90 ans, l'usurpation d'identité n'est pas prouvée puisque la probabilité pour la mère de survivre jusqu'à 120 ans n'est que 7 fois moindre que celle pour la fille de survivre jusqu'à 100 ans.

   Il faut donc faire des recherches, en particulier sur les centenaires, pour mieux estimer la mortalité à 100 ans. Si la force de mortalité s'infléchissait aux âges très élevés comme cela semble être prouvé pour certains insectes comme les drosophiles, on devrait néanmoins trouver beaucoup de personnes âgées de 120 ans en Chine !