Problème

1. Rappelez la définition d'une population stationnaire. Montrez en particulier que si les individus de la population ne sont pas classés selon leur âge mais selon le temps qui leur reste à vivre, la pyramide obtenue, appelée pyramide des années à vivre, est identique à la pyramide des âges.

   Voir le cours.

2. On s'intéresse désormais à l'épidémie de sida dans un pays occidental avant l'année 1985. Avant cette date, la croissance de l'épidémie correspondait à un temps de doublement annuel des nouveaux cas de sida. Prouvez que le taux de croissance infinitésimale était alors de 69,3 % par an. Le taux de doublement est relié au taux de croissance par la relation :

   

3. On peut supposer que la population des infectés était une population stable. La variable importante n'est donc plus l'âge mais le temps depuis l'infection. Les entrées correspondent aux nouvelles infections, les sorties à la déclaration du sida.

   On suppose que la force de déclaration du sida (l'équivalent de la force de mortalité) est une fonction connue. Donner l'expression de la fonction de survie à l'état asymptomatique ainsi que l'espérance de vie d'un nouvel infecté en fonction de .

   La probabilité de survie jusqu'à l'âge x est :

   

   L'espérance de vie est donc :

   

4. Si on suppose pour simplifier que la force de déclaration de la maladie est indépendante du temps depuis l'infection, dessiner la fonction de survie à l'état asymptomatique sachant que l'espérance de vie asymptomatique est d'environ 10 années.

   Il s'agit d'une simple exponentielle.

5. La situation avant 1985 est fortement épidémique et est supposée stable (au sens démographique du terme). Ecrire l'équation fondamentale d'une population stable (ou malthusienne) reliant la composition par durée d'infection x à la force et au taux de croissance .

   

6. Dessiner la pyramide des infectés suivant le temps depuis l'infection. Il s'agit d'une exponentielle nettement plus décroissante puisque le taux de décroissance est 69,3+10 % par an.
7. On s'intéresse désormais plutôt au classement à une date t des infectés, non pas suivant le temps, x, depuis l'infection mais le temps y restant avant la déclaration du sida. Donner l'expression de la composition . Si à la date t la composition par âge est individus âgés entre les âges x et , à la date t+y une proportion atteindra l'âge x+y. Parmi ces derniers une proportion décèdera entre les temps t+y et , c'est à dire sera à y années de la mort.

   Si on cumule sur tous les âges x, on obtient :

   

   On retrouve en effet dans le cas d'une force indépendante du temps passé dans l'état, que la durée est indépendante de la croissance et égale à la distribution des décès du cas stationnaire.

8. Tracer sur une même courbe les deux pyramides qui ont donc un volume (taille) identique. Calculer à une date t l'ancienneté moyenne de la population des infectés, et la durée de survie moyenne à l'état asymptomatique .

   L'ancienneté moyenne dans la maladie est :

   

   et la durée de survie asymptomatique moyenne des séropositifs est donc = 10 ans.

9. Donner la distribution suivant l'ancienneté de la maladie des cas de sida survenus entre les instants t et . Quelle est l'ancienneté moyenne des cas de sida ? Pourquoi est-elle si courte comparée aux 10 ans de survie asymptomatique moyenne ? Pourquoi pensait-on à cette époque, en observant les cas dans les hôpitaux que la durée d'incubation était très courte ?

   La distribution des nouveaux cas de sida classés suivant la durée depuis l'infection est :

   

   Dans les hôpitaux, les nouveaux cas de sida avait donc une ancienneté moyenne égale à =1/70=1,4 an soit très courte en comparaison de la durée moyenne d'incubation. Dans la population des séropositifs, il y avait beaucoup plus de nouveaux infectés que d'anciens en raison de la croissance. Ainsi même si en moyenne les nouveaux infectés déclareront un sida 10 ans plus tard, certains déclarent par manque de chance un sida très tôt, ce sont ceux là qu'on trouve dans les hôpitaux, et is sont en majorité en raison de la forte croissance. Les médecins, c'est à dire les personnes les plus concernées par cette nouvelle maladie puisque ce sont eux qui ont découvert les premiers cas, ont longtemps pensé qu'il s'agissait d'une maladie très ``mortelle'' c'est à dire d'une maladie dont la durée d'incubation était très courte puisqu'effectivement les cas qu'ils traitaient avaient été infectés très récemment (sans connaitre la date exacte de l'infection, certains malades connaissaient et ont même publié leur date vraisemblable d'infection).

10. Si on supose qu'après 1985, il n'y a plus de nouvelles infections du tout. Tracer les deux pyramides en 1995. Discuter.

    La pyramide suivant la durée d'infection a un creux, par contre la pyramide suivant la durée de survie est toujours une exponentielle.