On suppose que la f�condit� nette d'une population est d'1 enfant � l'�ge exact de 15 ans, d'1 enfant � l'�ge de 30 ans et de 0,3333 enfants � l'�ge de 45 ans.
?
Le taux net de reproduction est �gal � la somme des taux nets par
�ge, soit : 
filles par fille.
L'�quation de Lotka s'�crit :
En notant 
, ceci peut s'�crire :
soit encore :
dans le plan complexe.
Les racines de l'unit� sont :
dans le plan complexe sont une racine
r�elle et deux racines complexes conjugu�es.
Mais 
donne (en additionnant 
):
Ce qui donne :
Il n'y a donc qu'une seule racine r�elle, 
, mais il y a une
infinit� de racines complexes ayant la m�me partie r�elle
. En effet, toutes les cosinusoides de p�riode 15 ans et
qui valent 1 aux �ges 15, 30 et 45 sont solutions. Il n'y a pas,
contrairement aux cas r�els des populations humaines d'amortissement
(la structure initiale est partiellement conserv�e).
La figure 1
Figure 1: Fonction de maternit�,
, et cosinusoides aff�rentes aux racines ayant la plus
grande partie r�elle :
, m=0,1,2
repr�sente la fonction de maternit�, 
ainsi que
l'exponentielle 
, ainsi que les deux premi�res
solutions oscillatoires, 
,
et 
.
La racine 
est une racine complexe dont la partie r�elle
est n�gative. La figure 2
Figure 2: Fonction de maternit�,
, et cosinusoides aff�rentes aux racines ayant la plus
petite partie r�elle (n�gative) :
, m=0,1,-1
repr�sente les graphes de 
, pour
.
Une approximation de la racine r�elle peut �tre obtenue en calculant
l'�ge m�dian � la f�condit�, 
et en
faisant l'hypoth�se que les femmes ne donneraient pas naissance � des
enfants � 3 �ges diff�rents mais � une seul m�me �ge de 25,7 ans.
Si maintenant on tient compte des 3 �ges f�conds, on peut calculer
l'�cart type :
et obtenir une meilleure approximation en r�solvant l'�quation du
second degr� :
soit, approximativement (voir le cours) :
