Exercice: densité de population et population malthusienne

La densité d'une population exprimée pour un âge a et un temps t du diagramme de Lexis est la suivante :

1. Montrer qu'il s'agit d'une population malthusienne. Quel en est le taux de croissance ?

   En effet la population totale,

   

   croît au taux de croissance constant . De même la pyramide des âges a une structure par âge à l'âge a :

   

   indépendante du temps, il s'agit bien d'une population malthusienne.

   La force de mortalité est donc indépendante du temps.

2. La force de mortalité de cette population est-elle indépendante de l'âge ?

   Regardons de plus près une cohorte, par exemple celle née à la date . Le nombre des naissances entre et est . A l'âge a, c'est à dire entre les dates et on trouve survivants. La proportion de survivants atteignant l'âge a est donc :

   

   Cette proportion est bien indépendante du temps comme le prouvait le raisonnement issu des propriétés d'une population malthusienne. Ici, la force de mortalité est, de plus, indépendante de l'âge.

3. Quelle est l'espérance de vie de cette population ?

   L'espérance de vie est :

   

4. Quels sont les taux bruts de natalité et de mortalité ?

   Le taux de natalité est égal au nombre des naissances entre les instants t et rapporté aux années vécues par la population durant ce même temps, c'est à dire au produit de la population à l'instant t par . Ce rapport vaut :

   

   Le taux de mortalité est donc égal au taux de natalité, , diminué du taux de croissance , soit égal à .